平面和直線是三維計(jì)算機(jī)視覺(jué)和計(jì)算機(jī)圖形學(xué)中有用的幾何實(shí)體。將它們表示為一組點(diǎn)是低效的，這會(huì)導(dǎo)致很大的內(nèi)存需求，具體取決于用于生成點(diǎn)的步長(zhǎng)。

在本文中，我將討論如何使用向量方程表示平面和直線。我還將介紹如何使用向量形式找到直線和平面之間的交點(diǎn)。

三維線條

我們可以用下面的等式［1］表示向量形式的直線。

p ＝ l? ＋ l ＊ ＊＊ d，＊＊ d ∈ R

其中，I是一個(gè)向量，表示直線方向，l?是直線上的一個(gè)點(diǎn)，d是標(biāo)量。

p是直線上的通用點(diǎn)，這些點(diǎn)定義了線。因此，為了定義直線，我們只需要知道6個(gè)數(shù)字／參數(shù)，就可以用向量形式完整地表示它。

我創(chuàng)建了一個(gè)類(lèi)來(lái)表示線向量并繪制它。它由一個(gè)vector和一個(gè)point＿on＿line參數(shù)化，它們都是3x1 numpy列向量。

要在直線上獲得點(diǎn)，我們可以使用該方程。通過(guò)縮放vector改變d。

我將展示一些樣本行。

向量（1，1，1）點(diǎn)（0，0，0）；

如果你想要一條橫跨二維平面的線，那么你可以使用一個(gè)在兩個(gè)坐標(biāo)中只有非零值的向量，你將在二維平面中得到一條線。向量（1，1，0）點(diǎn)（0，0，0）：

三維平面

我們可以用下面的等式表示向量形式的平面。

（p — p?） ＊  n ＝ 0，其中n是平面的法向（垂直）向量，p?是平面上的點(diǎn)。

上述方程式中所有點(diǎn)p的軌跡定義了該平面。（p — ＊＊p?）＊＊表示平面中的向量，n表示平面的正交向量或法向量。因此，對(duì)于平面上所有點(diǎn)p的這些向量，相互正交的這兩個(gè)向量的點(diǎn)積將為零。

用六個(gè)數(shù)字來(lái)表達(dá)一個(gè)平面十分優(yōu)雅！

下面是Python中使用上述定義的平面類(lèi)。

接下來(lái)，讓我們看看如何找到直線和平面的交點(diǎn)。

3D中點(diǎn)與平面的交點(diǎn)

現(xiàn)在我們知道了如何在3D中表示點(diǎn)和平面，我們可以看看如何找到這兩個(gè)幾何圖形之間的交點(diǎn)。

如果一條直線和某個(gè)平面在點(diǎn)p相交，它將同時(shí)滿(mǎn)足直線和平面方程。因此，為了找到交點(diǎn)，將p的值從直線方程代入平面方程。

（（ ＊＊l? ＋ l ＊ ＊＊ d） — p?） ＊ n ＝ 0

展開(kāi)這些項(xiàng)可以得到以下等式。

（l ＊  n） d ＋ （l? — p?） ＊  n ＝ 0

求解d得到：

d ＝ （p? — l?） ＊  n ／ （l ＊  n）

這返回給我們一個(gè)點(diǎn)，該點(diǎn)位于直線和平面上。

有三種情況。

首先是直線和平面平行，但直線不在平面內(nèi)。

接下來(lái)是，正好有一個(gè)交點(diǎn)。

最后，直線平行于平面并在平面中，在這種情況下，直線中的每個(gè)點(diǎn)也將位于平面上。因此，在這種情況下，將有無(wú)限多個(gè)點(diǎn)同時(shí)滿(mǎn)足這兩個(gè)方程。

對(duì)于前兩個(gè)案例，l ＊  n ＝ 0，因?yàn)閷?duì)于它們，I垂直于法向量n。否則，我們將得到一個(gè)實(shí)數(shù)d，它可以在直線方程中替換回來(lái)，以得到交點(diǎn)：

p ＝ l? ＋ l ＊ d

我已經(jīng)為平面和直線類(lèi)編寫(xiě)了一個(gè)基于上述方程計(jì)算交點(diǎn)的函數(shù)。請(qǐng)注意，函數(shù)是相同的等式，唯一不同的是代碼語(yǔ)法。class Line：

現(xiàn)在，我們可以使用plane和line類(lèi)來(lái)查找它們之間的交點(diǎn)。例如：

我們可以使用Symphy驗(yàn)證結(jié)果：

我們也使用Symphy實(shí)現(xiàn)來(lái)驗(yàn)證我們的代碼。

結(jié)論

在本文中，我們研究了3D中的線和平面。我們看到了它們的向量方程，以及如何用一個(gè)向量和一個(gè)點(diǎn)來(lái)表示它們。這是一個(gè)非常緊湊的表示，只有六個(gè)數(shù)字。我們最終了解了如何找到兩者之間的交叉點(diǎn)，并查看了三種可能的交叉點(diǎn)情況。

參考文獻(xiàn)

       原文標(biāo)題 : 在三維空間中表示平面和直線